TEORÍA

FUNCIÓN LINEAL 

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2   

 

Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7    

Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4

         

Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.

Ejemplos:

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales  y = 2x  y  y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

1.       y = 2x

Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

 y = - 3x + 4

Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       

Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)

Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

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Tomado de:  http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html

ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad.

Hay unos pasos generales a seguir para resolver una ecuación lineal y son los siguientes:

1.- Reducir términos semejantes si es posible

2.- Pasar al lado izquierdo los términos con incógnitas y al lado derecho los que no tienen, esto se hace con las operaciones inversas, es decir si en un lado se está sumando, al otro lado de la igualdad se pasa restando.

3.- Despejar la incógnita.

Ecuación lineal con una incógnita

Tenemos la siguiente ecuación:

Siguiendo los pasos para resolverla, no hay términos semejantes así que pasamos a separar los términos que tienen incógnita al lado izquierdo de la ecuación y los que no tienen los pasamos al lado derecho.

y obtenemos:  5x = 47 – 12

Simplificando: 5x = 35

Ahora solo nos falta despejar la ecuación:

x = 35/5

Como respuesta a la ecuación lineal obtenemos que el valor de la incógnita es 7.

                           Ecuación lineal con dos incógnitas

Las ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden tener infinitas soluciones, pues el valor de una variable depende del valor que le des a la otra, es decir:

si tenemos la siguiente ecuación:

Siguiendo los pasos generales, primero reducimos los términos semejantes y nos queda:

3x + 12y = 57

y despejando una de las incógnitas, en este caso   la”x” obtenemos lo siguiente:

x = (57 – 12y)/3

O sea que dependiendo del valor que le demos a la incógnita “y” será el valor de “x”. Construimos una tabla:

Para obtener un valor exacto tendríamos que tener una segunda ecuación y resolverlas como un sistema de ecuaciones.

Ya que has aprendido qué son las ecuaciones de primer grado y sabes cómo resolverlas, solamente te falta practicar con algunos ejercicios de ecuaciones de primer grado.

Tomado de: https://matematicasmodernas.com/ecuacion-lineal/